С 1668 по 1670 год, во время воеводства отца своего в Астрахани, находился при отце и матери. В 1670 г., в год взятия Астрахани Стенькою Разиным и казни отца, князю Борису Ивановичу было 16 лет. Передают рассказ ответа его Разину. 18-го июля Разин собирался уже оставить взятую им и, после смерти воеводы князя И. С. Прозоровского, разграбленную Астрахань, как, вспомнив, что у воеводы были богатства, велел позвать старшего из его сыновей, надеясь от него выведать о деньгах.
Когда привели кн. Бориса Ивановича, Разин спросил его: «Где таможенные деньги, что собирались в Астрахани с торговых людей? Твой отец или завладел ими, или промышлял?» Молодой князь сказал, что отец его «никогда этими деньгами не корыстовался», и в доказательство своих слов разъяснил порядок следования таможенных денег и прибавил, что оставшиеся средства пошли на жалованье служилым людям, а личное имущество отца было разграблено при взятии города.
По возвращении с матерью в Москву, в 1672 году, кн. Бор. Ив. Прозоровский сделан был стольником, а в 1674 году стал «комнатным» стольником царевича Феодора Алексеевича.
В 1675 году, в конце июня, кн. Прозоровский получил вместе со старшим братом, князем Петром, отпуск в вотчину на богомолье. В 1689 г. в звании комнатного стольника он участвовал в Земском Соборе, созванном по вопросу об уничтожении местничества, и подпись его находится под «соборным деянием». Это было в январе 1682 года, а в день смерти царя Феодора (27-го апреля) в том же году мы видим его уже боярином. Назначенный «дневать и ночевать у гроба государя», кн. Борис, однако, не мог явиться по болезни.
Вероятно, он был сделан боярином в промежуток времени между Собором и смертью царя и тогда же был назначен в Приказ Большого Дворца. В период двоецарствия Иоанна и Петра Алексеевичей он постоянно сопровождал царя Иоанна по богомольям. В 1692 году он был назначен воеводою в Великий Новгород, где пробыл до марта 1697 года. В мае (11-го) вышел указ писать в грамотах князя Бориса «ближним боярином». В 1697 году он был в Москве, а в 1698 году царь Петр Великий вызвал его к себе в Воронеж. Причина вызова, однако, осталась неизвестною. Имя князя Бориса встречается в «списке бояр» еще в 1705 году.
В 1708 году назначен был чрезвычайным послом в Вену, но вследствие изменившихся политических обстоятельств, посольство это было отменено. В 1712 году в числе немногих свидетелей Прозоровский присутствовал в Петербурге при бракосочетании Петра І с Екатериною. Затем стал жить больше в Москве, где, заведуя Оружейной мастерской, скончался 6 апреля 1718 года. Был похоронен в Сретенском монастыре в большом соборе.
В 1711 году Прозоровский женился на Ирине Михайловне Римской-Корсаковой, бывшей уже два раза замужем. Её первым мужем был стольник и полковник Иван Кондратьевич Нечаев; вторым — князь Лука Федорович Долгоруков (ок. 1645 — 1710), брат известного князя Я. Ф. Долгорукова и отец князя Василия Лукича. Ирина Михайловна, пережила третьего мужа на два года, она умерла в Москве 10 января 1719 года и была похоронена вместе с ним. Детей у них не было.
Прозоровский оставил чрезвычайно любопытное духовное завещание, по которому он отдавал всё состояние свое в полное распоряжение императрицы Екатерины I, прося её уделить только часть его на поминовение его души и на обеспечение его вдовы. Чем лишил свою законную наследницу и племянницу княгиню Анастасию Петровну Голицыну наследства. Возможно, это решение было принято из-за участия Голицыной в деле царевича Алексея. Прозоровский подписал свое завещание 18 марта 1718 года, в тот самый день, когда княгиня Анастасия Петровна приговором суда была осуждена к тяжкому наказанию.
Высочайшим указом от 11 июля 1719 года, данным в Военную Коллегию, согласно резолюции Петра I, Рузская и Можайская вотчины Прозоровского даны были С.-Петербургскому госпиталю. Московский дом Прозоровского, на Знаменке, в 1727 году был пожалован императрицей Екатериной I графу П. И. Ягужинскому.