В чем загадка теоремы Ферма, которую решали три века и доказали только в 1994 году

Юрист с хобби

16 августа 1601 года во Франции, близ Тулузы, в гасконском городке Бомон-де-Ломань, около Монтобана на Тарне, притока Гаронны, у советника Доминика Ферма и его жены Франсуазы родился сын. Советник Ферма был уважаемым и зажиточным человеком, торговцем кожей, но сына захотел выучить в университете: для этого Пьера отправили в Тулузу изучать право. После Тулузы он учился в Бордо и Орлеане и только в 30 лет выпустился из университета адвокатом, но решил перейти на государственную службу и в 1631 году стал советником кассационной палаты Тулузского парламента — проще говоря, принимал прошения от населения. В том же году он женился на дочери советника кассационной палаты Луизе де Лонг и всю жизнь (счастливо или нет) провел в этой должности. У Ферма было пятеро детей, и спокойная провинциальная жизнь способствовала размеренным занятиям — юрист увлекался языками (он был полиглотом) и математикой; спорил с Декартом (о неверном методе решения задач, такт и вежливость Ферма привели спор к дружественному завершению) и приятельствовал с Паскалем.

В 1648 году Ферма стал членом палаты эдиктов в городе Кастр, и в его фамилии появилась частица «де»; во время эпидемии чумы 1652 заболел, но выжил: смерть множества коллег позволила ему стать парламентским судьей; в 1654-м он совершил единственное в жизни путешествие — вот и все обстоятельства его жизни. Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в Кастре, ему было 64. Во время Французской революции его могила оказалась утрачена.

Мир многим обязан старшему сыну Ферма, Клеману-Самуэлю: он издал в 1670-м собрание работ Пьера де Ферма (письма и статьи). Классическое собрание сочинений Ферма в трех томах издано специалистом по истории математики Полем Таннери в Париже в 1896-м.

Мы не знаем — за давностью лет — всех подробностей его бедной на внешние события жизни, но след, оставленный им в математике, таков, что интерес к маленькому чиновнику тулузского органа исполнительной власти, служащему кассационной палаты, не утихает и сегодня. Сравните его с небольшим чиновником современной адвокатской конторы, вообразите состоящим в переписке с лучшими математиками своего времени, и вам хоть отчасти станет понятна личность Пьера Ферма, интриговавшая современников. Пунктами его биографии были открытия, им сделанные.

Интуиция гения

В свободное от работы время Ферма занимался математикой и переписывался с ведущими учеными своего времени. Он был талантлив и обладал научной интуицией: его занимали самые важные вопросы современной науки. Казалось бы, провинциальный адвокат-любитель, чего от него ждать, но с ним состояли в переписке оба Паскаля, Декарт, Кавальери, Торричелли, Гюйгенс.

Ферма работал в разных отраслях математики: ему принадлежат открытия в аналитической геометрии, теории чисел, анализе. Он много сделал для интегрального вычисления: как и Кеплер, он представлял фигуру состоящей из небольших элементов, чтобы каждый можно было приближенно приравнять к фигуре с известной площадью, например треугольнику.

Благодаря своим озарениям Ферма сводил вычисление площади фигуры к задаче алгебраической, к суммированию геометрической прогрессии. Например, как, по Ферма, найти квадратуру гиперболы? Площадь ее стоит мысленно разделить на узкие прямоугольные полосы, а их можно представить прямоугольниками. Площади многоугольников образуют бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, и задача состоит в том, чтобы найти сумму прогрессии — как видите, чисто алгебраический прием. Интересно, что алгебра в те времена слыла математикой второго сорта, подручным средством для нужд математиков, вынужденных обращаться к бытовым вещам, но, по сути, способы Ферма переводят геометрическую задачу на аналитический язык.

Ферма нашел способ находить максимум и минимум функции, то есть предварил дифференциальное исчисление, открытое Ньютоном. Сам Ньютон писал, что работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа.

Однако именно Ферма принадлежит создание теории чисел

«Арифметика» Диофанта, изданная в 1621 году во Франции, была настольной книгой Ферма, который внимательно читал и комментировал ее; и заметки на полях Диофанта показывают интуицию гения Ферма и особенности его индукции. Кроме того, Ферма любил сложные арифметические задачи и делился ими с современниками: от магических квадратов и кубов до арифметических теорем.

Тогда же он обнаружил, что

Это открытие получило название малой теоремы Ферма. Сам Ферма в заметках на полях «Арифметики» Диофанта часто оставлял свои догадки без доказательств. Первым математиком, нашедшим доказательство, был Лейбниц, из рукописей которого следует, что открытие сделано до 1683 года, но не опубликовано, так что первое доказательство малой теоремы в 1736 году обнародовал Леонард Эйлер.

Эйлер доказал (1749) ещё одну теорему, сегодня известную как теорему Ферма — Эйлера: доказательство стоило ему 7 лет трудов; сам Ферма доказал ее изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска», опубликованным в 1879 году; тем не менее Эйлер понял принцип по замечаниям в письмах Ферма и успешно его применял.

Но самое знаменитое озарение тулузского любителя математики— Великая теорема Ферма.

Великая — и нерешаемая?

Это самая популярная теорема математики. Её условие просто и может быть понято школьником, но доказательство искали более трёхсот лет и нашли только в 1994 году.

Теорема прославила тулузского юриста. В 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта он написал, что для любого натурального числа n >2 уравнение

не имеет решений в целых ненулевых числах а, b, с.

Снизу Пьер де Ферма приписал, что найденное им доказательство слишком длинно, чтобы приводить его здесь. Что сказать, и вправду получилось длинновато: доказательство принстонского англо-американского математика Эндрю Уайлса 1994 года заняло 129 страниц в журнале Annals of Mathematics и было опубликовано в 1995 году.

С тех пор как теорема стала известна, многие умы бились над ее решением, существуют некоторые частные способы ее решения. Так, Леонард Эйлер в 1770-м доказал ее для случая n=3, в XIX веке теорему решили для n=5, 7 и для других частных случаев. Но все жаждали полного и красивого общего решения.

Обманчивая простота формулировки и понятность условия принесли Великой теореме известность: ее решение искали именитые математики и любители; теорема считается рекордсменом по количеству неправильных доказательств.

Знаменитый математик Давид Гильберт в 1900 году на Математическом конгрессе отметил, что поиск доказательства для теоремы Ферма изменил и развил всю теорию чисел. За ее решение назначали денежные премии: в 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тысяч немецких марок за верное общее доказательство теоремы. Но Первая мировая война обесценила марку.

Истовые искатели доказательств звались «ферматисты», и многие журналы математики изнемогали под их натиском: в 1972 году журнал «Квант», написавший о теореме, снабдил статью припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию. Многие сегодня мечтают упростить его тяжеловесное доказательство, так что говорить о том, что точка в истории поставлена, пока рано. И вправду — всего 420 лет!