В 1733 году был помещен в сухопутный шляхетный корпус, который окончил в 1740 году. В этом году в Константинополь отправлялся назначенный туда полномочным послом Александр Иванович Румянцев и Обресков, несмотря на то, что уже в недалеком будущем должен был быть произведен в обер-офицеры, пренебрег этим повышением и подал просьбу о причислении его к посольству. Просьба эта была исполнена и Обресков был назначен пажом при отправлявшемся посольстве. В Константинополе он, благодаря своему знанию иностранных языков, скоро сумел сделаться необходимым для Румянцева и постоянно помогал послу вести дипломатическую переписку; в то же время, обладая хорошей памятью и богатыми способностями, Обресков скоро изучил турецкий и греческий языки; в 1742 году Обресков был произведен в армейские поручики. При следующих, после Румянцева, резидентах, Вешнякове и Неплюеве, Обресков также находился в Константинополе и, пользуясь их расположением, нередко исполнял весьма ответственные поручения.
В 1747 году ему, между прочим, было поручено Неплюевым отвезти в Россию захваченного в Константинополе самозванца Федора Иванова, выдававшего себя за сына царя Ивана Алексеевича. Обресков со стражей повез его, но по дороге, в Айдосах, самозванец начал звать турок, крича, что он подданный султана и что он желает принять магометанство. Турки отбили его и, несмотря на попытки Обрескова выманить самозванца обратно посулами и угрозами, его не только не выдали, но стали даже угрожать самому Алексею Михайловичу. Обресков должен был спасаться от разъяренной толпы и уехал обратно в Константинополь, но Неплюев, понимая, что держать его в Константинополе после этого не безопасно, отправил его на время в Россию. Впрочем, здесь Обресков пробыл недолго: уже в следующем году он был снова в Константинополе и 2-го декабря 1748 года был произведен в армейские капитаны.
Посол России в Турции
В 1750 г. Обресков вернулся в Россию и в награду за свой деятельность был произведен в секунд-майоры. В Петербурге отдыхать ему, однако, пришлось недолго: в 1751 году умер в Константинополе русский резидент А. И. Неплюев, и нужно было немедленно же заместить этот пост, весьма важный ввиду тогдашних европейских событий. Обресков, несмотря на свой сравнительную молодость, в глазах правительства был лицом, могущим не без успеха стать представителем России перед Турцией, ибо за ним была достаточная опытность и знание. В докладе иностранной коллегии о нем говорилось: «Сей майор Обресков для того способным к тому признается, что он уже был там при здешних резидентах, Вешнякове и Неплюеве, около 10 лет и в тамошних поведениях довольное имеет знание». 28-го февраля 1751 г. Обресков был назначен поверенным в делах в Константинополь с производством в надворные советники, а через полтора года, 2-го ноября 1752 г. был сделан и резидентом. Главной целью, которая была поставлена новому резиденту — было стремиться к заключению трактата, по которому русские могли бы свободно производить торговлю на Черном море на своих кораблях и свободно плавать на этом море. Обресков отлично понимал, что это дело «самокрайнейшей нежности» и поэтому действовал очень осторожно. Он отлично знал, что вернейшее средство воздействовать на турецкое правительство, есть подкуп, и потому подкупал всех тех, которые, по его мнению, могли быть ему полезными.
В то же время Обресков должен был иметь в виду и нужды балканских славян, положение которых требовало заступничества России; между тем, как Россия была лишена возможности действовать решительно, ввиду тех затруднительных обстоятельств, в которые она была поставлена приготовлениями к войне с Фридрихом II, Обресков очень умело справлялся со всеми этими затруднениями и очень мирно уживался с строгим и капризным султаном Мустафой III. Гораздо труднее оказалось положение Обрескова, когда началась семилетняя война: Фридрих II, стесненный со всех сторон, старался как-нибудь разделить силы союзников и предписывал своему посланнику в Константинополе склонить Порту к нападению на Австрию или, по крайней мере, к заключению с Пруссией союза. Представления прусского посла поддерживал и английский представитель, и Порта действительно была настроена очень воинственно и готова была придраться к самому незначительному поводу, чтобы открыть войну. Обрескову пришлось быть осторожным, но он все-таки справился с своей задачей и заставил Турцию держаться нейтралитета.
Между тем умерла Императрица Елизавета и вступил на престол Петр III, который круто изменил направление русской политики, став на сторону Фридриха II против Австрии. Обрескову было приказано теперь уже не удерживать Порту, но наоборот, направлять ее против Австрии, и Обресков очутился в очень затруднительном положении, будучи принужден уничтожать все то, о создании чего раньше старался. К его счастью, скоро вступила на престол Екатерина II, относившаяся вообще очень благосклонно к Обрескову, и ему не пришлось проводить политики прямо противоположной той, которую он проводил раньше. Еще Петр III произвел Алексея Михайловича в действительные статские советники; Екатерина II пожаловала ему скоро по вступлении на престол орден св. Анны. Очень хорошо относился к Обрескову и тогдашний президент Коллегии Иностранных Дел граф Панин, имевший не раз случай испытать его умение и дипломатический такт, которые особенно понадобились ему теперь, когда в 1763 г. умер польский король Август III и поднялся вопрос об избрании на его место нового короля.
Польский вопрос
Русское правительство протежировало графу Понятовскому, но французский двор, стремившийся к упрочению польского престола за Саксонским домом, начал сильно противодействовать русским замыслам и старался настроить против них Порту. С этой целью интриговал в Константинополе французский посол Вержень и польский резидент Станкевич, заявляя, что Польша лишена возможности выбрать себе короля, что Екатерина силой возводит Понятовского, чтобы потом выйти за него замуж и этим объединить под своей властью Польшу и Россию. Турецкое правительство, действительно, хотело сначала вмешаться в польские дела, но Обресков успел склонить на свою сторону переводчика Порты и целым рядом подкупов заставил Порту отказаться от вмешательства. Императрица была очень довольна этим и на реляции Обрескова написала: «ревность, искусство и усердие Обрескова довольно похвалить не можно; да благословит Господь Бог и впредь дела наши тако».
Между тем в Константинополе у Обрескова появились новые враги: раздражал Порту против России своими жалобами крымский хан Крым-Гирей, враждебно настроенный против России, интриговали против нее польские патриоты, недовольные русским правительством, а Пруссия и Австрия также добивались заключения союза с Турцией, желая вовлечь ее в дела Польши, чтобы ослабить в ней влияние России. Между тем русское правительство ввело войска в Польшу для защиты диссидентов, затем началась борьба с Барской конфедерацией и все это подавало повод врагам России возмущать против нее турецкое правительство. Положение Обрескова сделалось очень трудным: он даже должен был подписать обещание, по которому русские должны были вывести из Польши свои войска, лишь только кончится диссидентская война. Тщетно просил он совета и указания у Панина: тот полагался на его собственную опытность и лишь прислал ему на подкупы 70000 рублей. Но деньги теперь уже не могли помочь, так как благоприятствующие Обрескову великий визирь и рейс-эфенди были сменены, новые же оказались враждебно настроенными против России.
Русско-турецкая война (1768—1774)
Порта искала только случая, чтобы объявить войну России и случай скоро представился: в 1768 году во время гайдамацкой войны группа гайдамаков напала на селения Балту и Дубоссары, принадлежавшие крымскому хану. Порта придралась к этому и решила начать с Россией войну. 25-го ноября 1768 года Обресков был позван к великому визирю, который потребовал от него ручательства, что Россия выведет немедленно войска из Польши и откажется от защиты диссидентов. Обресков заявил, что он не имеет права сделать это и тогда ему и 11 членам посольства был объявлен арест. Обрескова посадили в подземелье башни Едикуле, где положение его оказалось настолько тяжелым, что даже турок-комендант должен был донести, что пленники не могут прожить в таком помещении и трех суток. Обресков вследствие этого был переведен в лучшее помещение, небольшую тесную избушку, куда свет проходил только через двери и небольшое окно в крыше. В декабре Обресков притворился отчаянно больным, подкупил врачей и заставил перевести себя в лучшее помещение.
В 1769 году визирь взял его с собой в поход, и здесь Обрескову пришлось очень тяжело: его заставляли ходить пешком, обращались с ним очень плохо, все представления, которые он делал великому визирю о своем освобождении, оставались без последствий, и только новый визирь смягчил несколько его участь, заключив его в полуразвалившийся замок в окрестностях Адрианополя и не заставляя его постоянно двигаться вместе со своей армией. Караул, приставленный к нему, был очень строг: к нему никого не допускали; однако во все время своего заключения ему удавалось пересылать письма Панину, в которых он описывал свое состояние, положение дел в Константинополе и давал очень ценные советы относительно ведения войны. Вот как описывал он в одном из писем свое положение: «Я заперт в замке, в котором пустого места не более сажен пять и должен толочься тут, как в берлоге медведь; если еще жив, то сие единственно приписываю отраде, часто вкушаемой по случаю счастливых успехов нашего оружия; утешает меня также крайнее расстройство и страх здешних варваров».
Переговоры в Фокшанах и Бухаресте
Наконец, летом 1771 г. по энергичным представлениям австрийского и прусского послов, Обресков был освобожден и 30-го августа 1771 года прибыл в Петербург. Императрица щедро наградила его за это заключение: еще в 1766 году он был пожалован в тайные советники; теперь он был назначен членом Коллегии иностранных дел, получил орден св. Александра Невского и 200000 руб. Недолго, однако, пришлось ему быть в Петербурге. Начались мирные переговоры с Портой и А. М. Обресков вместе с графом Г. Г. Орловым был отправлен на конгресс с турецкими уполномоченными в Фокшаны. Главные требования русского правительства сводились к признанию за Россией свободы торговли и мореплавания на Черном море и к независимости Крыма от султана. Турки, разумеется, не могли согласиться на это, и конгресс окончился без результатов. Впрочем, до нас дошло письмо графа Панина, которое указывает и на другую причину неудачи конгресса. Панин приписывает неудачу «бешенству и колобродству» гр. Орлова.
Вместе с тем он уверял Обрескова, что Императрица отлично сознает, что «вам невозможно было ничего иного сделать в положении вашем, как то, что вы сделали. Поверьте, мой друг, что вам вся справедливость отдается, и ваши прежние заслуги не помрачаются, конечно, от необузданности товарища вашего… Мы поставлены теперь в наикритическое положение через сей разрыв, возобновляющий войну старую и ускоряющий новую. Вам поручается извлечь отечество из такого жестокого кризиса». На следующий конгресс в Бухарест Обресков отправлен был уже один, но и здесь, несмотря на все свои старания, он не мог ничего сделать, вследствие постоянных интриг со стороны врагов России в Константинополе. Только новые победы Румянцева могли заставить Порту согласиться на русские условия, но мир был заключен уже не Обресковым, который не мог поспеть во время в Кучук-Кайнарджи, вследствие сильного разлития Дуная. По прибытии в Петербург Обресков не прекратил своей деятельности и ревностно работал в коллегии иностранных дел, где скоро занял, благодаря своему выдающемуся уму и способностям, видное положение. В 1779 году он был назначен присутствовать в Сенате, в 1784 г. — произведен в действительные тайные советники, и умер, находясь на службе, в 1787 году.
По свидетельству современников, А. М. Обресков отличался большим образованием и природным умом, но в обыденной жизни был человеком очень вспыльчивым и крутым.
А. М. Обресков был женат два раза: первый раз тайно, когда ему было еще 18 лет; второй раз в Константинополе, на гречанке, и имел четырех сыновей: Петра, Михаила, Ивана и Николая, и двух дочерей: Екатерину и Агриппину.