Родился в семье князя Ивана Григорьевича Куракина, отпрыска рода Гедиминовичей, и Феодосии Алексеевны, урождённой княжны Одоевской (ум. 1677). Крестник царя Фёдора Алексеевича, один из ближайших сподвижников Петра I, был женат на К.Ф. Лопухиной, сестре первой жены Петра I. С шестилетнего возраста находясь возле Петра, принимал участие во всех его начинаниях. Участвовал в Азовских походах.
Офицером участвовал в составе Семеновского полка в Азовских походах 1695-1696. В марте 1697 с группой дворянских недорослей послан под именем Бориса Иванова для обучения в Венецию. Изучал математику, механику, фортификацию и др. Получил свидетельство мастера. В 1698 вернулся в Москву и был назначен под Азов. В 1699 сопровождал Е.И Украинцева в Константинополь. В 1700 участвовал в Нарвском сражении, в 1702 — во взятии Нотебурга. Принимал участие в строительстве Санкт-Петербурга. В 1707 послан к римскому папе Клименту XI с заданием добиться непризнания Станислава Лещинского польским королем. После успешных переговоров посетил Венецию, Австрию, Гамбург, Голландию с целью предотвратить вербовку наемников в шведскую армию. Участвовал в Полтавском сражении 1709, где командовал Семеновским полком; после измены И.С. Мазепы Куракину поручена организация избрания нового гетмана. В октябре 1709 направлен к Брауншвейг-Люнебургскому курфюрсту для переговоров о браке царевича Алексея Петровича с дочерью курфюрста Шарлоттой. В начале 1710 вел переговоры с Ганноверским курфюрстом (будущий английский король Георг I), добился нейтралитета Ганновера. Затем некоторое время находился в Голландии при после А.А. Матвееве. С 1709 полномочный министр в Лондоне. Пытался склонить Великобританию к посредничеству при переговорах между Россией, Швецией и Турцией.
Во время и после Утрехтского конгресса 1711-1713 Куракину удалось удержать Великобританию от проявления открытой враждебности к России. Содействовал превращению в 1714-1715 Северного союза в мощную коалицию. С октября 1711 полномочный министр в Гааге. В 1712 после отъезда Матвеева стал одновременно послом в Лондоне и Гааге. В апреле 1714 полномочный представитель России на Брауншвейгском конгрессе, на котором обсуждался вопрос о русско-шведском мире. В феврале 1715 Куракину дана грамота на заключение союза с Данией и Великобританией, однако британский король выступил в поддержку Швеции, и союз заключен не был. Куракин вел также работу по заказу кораблей, приглашению на русскую службу иностранцев; при создании Санкт-Петербургской Академии наук способствовал приглашению в Россию иностранных ученых. В 1717 сопровождал Петра I в путешествии по Франции. В августе 1717 участвовал в заключении в Амстердаме договора между Россией, Францией и Пруссией о дружбе, союзе и торговле. Участвовал в Аландском конгрессе 1718-1719. В 1723 вел переговоры с Францией о заключении более тесного союза. Безуспешно пытался добиться брака между королем Франции Людовиком XV и великой княгиней Елизаветой Петровной. С января 1724 посол в Париже.
В конце 1724 года Петр согласился с доводами Куракина о целесообразности нормализации отношений с Англией. Петр одобрил проект союзного договора с Францией, в котором содержалось приглашение Англии присоединиться к нему. Англия решила направить в Петербург своего посла и, что особенно важно, согласилась признать за царем императорский титул. 24 ноября 1725 года, то есть после смерти Петра, императрица пожаловала Куракина действительным тайным советником. К этому времени Европа раскололась на два враждебных политических лагеря — Венский (Австрия и Испания) и Ганноверский (Англия, Франция и Пруссия) союзы. Оба союза боролись за привлечение к себе России, от которой во многом зависело соотношение сил. Для разрешения конфликтной ситуации оба блока вели переговоры о созыве конгресса «ради восстановления генеральной тишины в Европе». Местом проведения конгресса был выбран Суассон. Одним из русских представителей на конгресс Коллегия иностранных дел назначила опытнейшего Куракина. Однако 17 октября 1727 года, в самый разгар подготовки к Суассонскому конгрессу, Борис Иванович Куракин в возрасте 50 лет скоропостижно скончался в Париже. Его тело было перевезено в Москву и погребено в фамильном склепе Чудова монастыря в Кремле. Князь Борис Иванович Куракин до конца жизни занимался благотворительностью, помогая беднякам. Перед смертью он завещал своему сыну князю Александру Борисовичу построить в Москве богадельню с церковью для пятнадцати заслуженных офицеров, обеспечив ее надлежащим доходом.
Куракин оставил путевые записки и автобиографию (доведена до 1709) и составил подробный план для истории России, по которому успел написать лишь «Гисторию о царе Петре Алексеевиче и ближних к нему людях. 1682-1694 гг.». Завещал свой капитал на устройство «шпиталя» (Странноприимный дом князей Куракиных в Москве).Был женат дважды и имел пятерых детей.